题目

已知函数f(x)对于任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y) 恒成立,且当x>1时,f（x）>0,(1)求证y=f(x)为偶函数(2)解不等式：f(x)+f(x-1/2)

提问时间：2020-10-25

答案

1：取x=1,y=1,可得f（1）=2f（1）=>f（1）=0；
再取x=-1,y=-1,可得f（1）=2f（-1）=>f（-1）=0；
取y=-1,可得f（-x）=f（-1）+f（x）=>f(x)=f(-x),命题得证
2：当x>1时,f（x）>0,结合偶函数特征知,当x0
f(x)+f(x-1/2)=f[(x-1/4)^2-1/16] (x-1/4)^2-1/16∈[-1,0)U(0,1]
解得x∈[（1-根号17）/4,0）U（0,（1+根号17）/4]