题目

如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块腰长足够长的等腰直角三角形纸板的直角顶点放在O处，并将纸板绕O点旋转．问正方形被纸板覆盖部分的面积是否发生变化．请说明理由．

提问时间：2020-10-24

答案

正方形被纸板覆盖部分的面积不发生变化．理由如下：
纸板绕O点旋转到如图所示的位置，作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，
∵O是边长为a的正方形ABCD的中心，
∴四边形OMAN为正方形，
∴OM=ON=

1

2

a，∠1+∠3=90°，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△OME和△ONF中，

∠OME＝∠ONF ∠1＝∠2 OM＝ON

，
∴△OME≌△ONF（AAS），
∴S_△OME=S_△ONF，
∴S_{四边形AEOF}=S_{正方形AMON}=

1

2

a•

1

2

a=

1

4

a²，
即正方形被纸板覆盖部分的面积不发生变化，总是等于正方形ABCD面积的

1

4

．

纸板绕O点旋转到如图所示的位置，作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，根据正方形的判定与性质易得四边形OMAN为正方形，得到OM=ON=

1

2

a，∠1+∠3=90°，利用等角的余角相等得∠1=∠2，再根据“AAS”证明△OME≌△ONF，则S_△OME=S_△ONF，于是得到S_{四边形AEOF}=S_{正方形AMON}=

1

4

a²．

本题考点：旋转的性质．

考点点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．