题目

证明：无界且非无穷大量的数列{xn} 必存在收列子列.

提问时间：2020-10-24

答案

先解决概念问题：数列无界的定义：∀G>0,∃N>0,使得|xN|>G,则称数列{xn}是无界的~.
显然无穷大量一定是无界的,但无界不一定是无穷大量,
举个简单的栗子就明白了：{xn}：1,0,2,0,3,0,……：无界,但非无穷大.
那么就容易证明啦~：
由于{xn}是非无穷大量,所以∃M>0,使得数列中有无穷多项满足|xn|≤M（或表述为：∃M>0,对∀Nk>0,∃nk>Nk,使得|xnk|≤M）
取数列：
取N1=1,∃n1>1,|xn1|≤M；
取N2=n1,∃n2>n1,|xn2|≤M；
……继续下去,得到有界子列{xnk},|xnk|≤M,k=1,2,3……
由Bolzano-Weierstrass定理,{xnk}必有收敛子列,而子列的子列仍旧是子列,所以{xn}存在收敛子列.