题目

递推数列的单调性是不是与函数的导数大于零 小于零有关?大于零单调,小于零则不单调?为什么?请给出证明!

提问时间：2020-10-24

答案

无关.
令a(n)表示数列的第 n 项,f(x)是这个数列的递推函数,
即：a(n+1)=f[a(n)],那么有以下几种情形：
(1) f(x) 递减,而{a(n)}无单调性,如：f(x)=1/x,当x>0时,单调递减,
而{a(n)}={a(1),1/a(1),a(1),1/a(1)…………}
这个数列只是a(1)与1/a(1) 交替出现而已,不具备单调性
(2)f(x)递增,但{a(n)}递减,如：f(x)=x-1,当x属于R时,单调递增,
而a(2)=a(1)-1,a(3)=a(2)-1=a(1)-2,……
显然a(n)随着n的增大,越来越小
(3)f(x)递增,但{a(n)}递 增,如：f(x)=x+1,x属于R时,单调递增,
而a(2)=a(1)+1,a(3)=a(2)+1=a(1)=2,……
显然a(n)随着n的增大,越来越大
综 上：递推数列的单调性与递推函数的单调性没有关系,递 推函数描述的只是相邻两项的大小关系,而递推数列的单调性却是整个数列的单调性,全局不等于局部,反之亦然.