题目

已知函数f（x）=x³-px²-qx的图象与x轴相切于（1，0）点，则f（x）（　　）
A. 极大值是

4

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，极小值是0
B. 极大值为0，极小值为

4

27

C. 极大值为0，极小值为-

4

27

D. 极大值为

4

27

，极小值为-

4

27

提问时间：2020-10-23

答案

对函数求导可得，f′（x）=3x²-2px-q，
由f′（1）=0，f（1）=0可得

3−2p−q＝0  1−p−q＝0

，解得

p＝2 q＝−1

，
∴f（x）=x³-2x²+x．
由f′（x）=3x²-4x+1=0，得x=

1

3

或x=1，
当x≥1或x≤

1

3

时，函数单调递增；当

1

3

＜x＜1时，函数单调递减
∴当x=

1

3

时，f（x）取极大值

4

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，当x=1时，f（x）取极小值0，
故选A．

对函数求导可得，f′（x）=3x²-2px-q，由f′（1）=0，f（1）=0可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查了导数在求解函数的单调性、函数的极值中的应用，属于导数基本方法的应用