题目

已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）=-xlg（2-x），求f（x）的解析式．

提问时间：2020-10-23

答案

解∵f（x）是奇函数，可得f（0）=-f（0），
∴f（0）=0．
当x＞0时，-x＜0，由已知f（-x）=xlg（2+x），
∴-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg（2+x）（x＞0）．
∴f（x）=

−xlg(2−x)    (x＜0) −xlg(2+x)   (x≥0)

即f（x）=-xlg（2+|x|）（x∈R）．

由f（x）是R上的奇函数，故f（0）=0．只需再求出x＞0时的解析式．由x＞0，则-x＜0，故f（-x）可代入一直解析式求解，再由奇函数可求出f（x）．然后由分段函数写出f（x）即可．

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查函数的奇偶性的应用、求函数的解析式．注意R上的奇函数勿忘f（0）=0．