题目

十万火急
求证不存在正整数到正整数的映射,使f(f(x))=X+2011,存在使f(f(X))=X+2010,之前打错了 以这次发的为准

提问时间：2020-10-23

答案

给你提供两种方法
方法一
假设存在这样的函数f,则有f(x+2011)=f(f(f(x)))=f(x)+2011
用归纳法可得,f(x+2011m)=f(x)+2011m （m属于整数）
令i,j属于｛0、1、2……、2010｝=M
若f(i)≡j(mod2011),设j=f(i)+2011k
则有f(j)=f[f(i)+2011k]≡f[f(i)]≡i(mod2011)
因为M的元素个数为奇数,故总存在x属于N,使f(x)≡n(mod2011)
设f(x)=x+2011k(k属于整数)
则f[f(x)]=f(x+2011k)=f(x)+2011k=x+2011k*2k (k属于整数)
因为f[f(x)]=x+2011,所以2k=1,矛盾
所以不存在.
方法二（这个比较简单,但不好理解）
假设存在这样的函数f,则利用已知的函数方程可知,对于任何r属于｛1、2、3……2010｝=S,都存在 l属于S,r不属于S,使得f(r)=l+2011,f(l)=r或者f(r)=l,f(l)=r+2011,
定义映射g :r→l(都属于S),则l为双射且当g(r)=l,g(l)=r,
这意味着S中元素的个数是偶数,不可能.