题目

已知函数f(x)=min{x^2+2tx+t^2-1,x^2-4x+3}是偶函数(t为实常数),则y=f(x)的零点为多少?
1,3.-1,-3 麻烦写出过程,

提问时间：2020-10-23

答案

这题有意思.解析如下.
先对函数 f 变形：
f(x) = min {x^2 + 2tx + t^2 - 1, x^2 - 4x + 3}
= min { (x+t)^2 - 1, (x-2)^2 - 1 }
= min { (x+t)^2, (x-2)^2 } - 1
= [min { |x+t|, |x-2| }]^2 - 1,
这样就好分析了.现在我说如果要让 f 是偶函数 （也就是说让 min { |x+t|, |x-2| }是偶函数）的话,必须有 t = 2.否则的话,比如 t > 2,那么看：
min { |x+t|, |x-2| } 和 min { | x-t |, |x+2| } （右边这个是代入 -x 后得到的）
我就一定可以找到 这样的x,使得 前一个取小的结果是 |x+t|,后一个取小的结果是 |x-t|,这样就等于是说,可以找到 x,使得 f(x) 不等于 f(-x),于是就不是偶函数了.为了证明这一点,令：
|x+t| > |x-2|,两边平方后解出 x > (4-t^2) / (2t + 4) = (2-t)/2,再令
|x-t| > |x+2|,两边平方后解出 x < (t^2 - 4) / (2t + 4) = (2+t)/2,
由于此时 t>2,故 (2-t)/2 < x < (2+t)/2,确实是存在这样的x,使得函数不是偶函数了.
同理你也可以证明,如果 t < 2,你就可以找到x 使得相反的不等式成立,函数一样不是偶函数.
这样,t = 2, f(x) = [min { |x+2|, |x-2| }]^2 - 1,零点就是找
min { |x+2|, |x-2| } = 1的点,由于左边这个取小的结果肯定是其中一个,那就不妨：
|x+2| = 1试一试,解出 x = -3 和 -1 ,恰好都比第二个小,于是这两个就是根；
同理,你可以找到 1 和 3 这两个根.于是答案的根就是四个了.
PS:
偶函数如果有根的话,根的数目只有可能是 1, 2, 4, 6, 8 . ；
对 t=2这个判断,刚才是提供的证明,但你其实很快通过画函数图来得到,|x-2|与|x+t|的图象各自关于 x = 2和 x = -t对称,而取小函数就是在每一段你找下方的曲线,最终组成一个折线形而已,由此可见,只要 t 不等于2 ,两个对称轴就不是关于y轴对称,图形就不可能是关于y轴对称的.