题目
已知角A、B为锐角,且cos(A+B)•sinB=sinA,则tanA的最大值是( )
A.
B.
C. 3
D. 2
A.
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4 |
B.
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2 |
C. 3
2 |
D. 2
2 |
提问时间:2020-10-23
答案
由cos(A+B)sinB=sinA得-cosCsinB=sinA,
利用正弦定理和余弦定理,-
×b=a,化简可得 3a2+b2=c2.
由 tan2A=
-1,且A为锐角可得,可得 cosA>0,tanA>0.
只要求出cosA的最小值,就可求得tanA的最大值.
又cosA=
=
≥
,当且仅当
b=c时,等号成立.
即cosA的最小值为
. 故tan2A 的最大值为
,
故tanA的最大值
=
.
利用正弦定理和余弦定理,-
a2+b2−c2 |
2ab |
由 tan2A=
1 |
cos2A |
只要求出cosA的最小值,就可求得tanA的最大值.
又cosA=
b2+c2−a2 |
2bc |
2b2+c2 |
3bc |
2
| ||
3 |
2 |
即cosA的最小值为
2
| ||
3 |
1 |
8 |
故tanA的最大值
|
| ||
4 |
由条件可得-cosCsinB=sinA,利用正弦定理和余弦定理可得3a2+b2=c2,由 tan2A=
-1,且A为锐角,判断知,
求tanA的最大值即求cosA的最小值,由基本不等式求出cosA的最小值,从而求得tanA的最大值.
1 |
cos2A |
求tanA的最大值即求cosA的最小值,由基本不等式求出cosA的最小值,从而求得tanA的最大值.
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本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用,属于中档题.
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