题目

sinx+cosx=cos2x,x∈[-π,π]求解三角方程

提问时间：2020-10-22

答案

因为 sinx + cosx = cos2x = (cosx))^2 - (sinx))^2 = (cosx - sinx )(cosx + sinx )
(1) 当 sinx + cosx =（ 根2）sin（x + π/4）= 0 时,方程有意义,恒成立
此时 x + π/4 = kπ + π/2 ,k∈Z,因为 x∈[-π,π] ,所以 x = π/4 ,或 x = - 3π/4
（2）当sinx + cosx不等于 0 时 ,
sinx + cosx = cos2x = (cosx))^2 - (sinx))^2 = (cosx - sinx )(cosx + sinx ) 可化简为
1 = cosx - sinx = -（ 根2）sin（x - π/4） 即 sin（x - π/4）= - （ 根2）/2
所以 x - π/4 = 2 kπ - π/4 或 x - π/4 = 2 kπ - 3π/4 ,（k∈Z）
又因为 x∈[-π,π] 所以 x = - π/4 或 x = - 3π/4
综上 方程sinx+cosx=cos2x,x∈[-π,π]的解为{ x | x = π/4 或 x = - π/4 或 x = - 3π/4}