题目

在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB,AD边分别在x轴 y轴的正半轴
上,A点与坐标原点重合.将矩形折叠,使A点落在线段DC上,求折痕的场的最大值.)
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提问时间：2020-10-22

答案

没有图,我只能将AB当做长,AD当做宽了,不管对不对,方法是一样的.
将折叠后落在DC上的点设为E点,坐标为(m,1),0≤m≤2.
因为E点和A点是关于折痕对称的,所以AE与折痕L垂直.
AE的斜率为(1-0)/(m-0)=1/m,则L的斜率为-m.
又因为L经过AE的中点(m/2,1/2),所以可以得到L的表达式,y-1/2=-m*(x-m/2),
即y=-mx+m²/2+1/2
求折痕的长度,也就是求L和AB、DC交点之间的距离,设两交点分别为F、G
由直线AB：y=0,DC：y=1,可得F(m/2+1/2m,0),G(m/2-1/2m,1)
则折痕的长度为FG,FG²=(m/2+1/2m-m/2+1/2m)²+(0-1)²=1/m²+1
因为0≤m≤2,所以当m=0时,也就是说,折叠后A点与D点重合,FG最长,长度为2,与AB、CD平行.
如果AB=1,AD=2的话,折痕最长=根号5/2,自己算吧.