题目

y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx) x属于(0,pi）的值域

提问时间：2020-10-22

答案

(1+sinx+cosx)(1-sinx-cosx)=1-(sinx+cosx)^2=-2sinxcosx ……①,所以：
（1）当1+sinx+cosx＝0时容易知道sinx,cosx中有一个是0.此时(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝0.
（2）当1+sinx+cosx≠0时,由①式(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝-1/2*(1-sinx-cosx)=-1/2+(sinx+cosx)/2.
而由于sinx+cosx=√2*sin(x+π/4),所以-√2≤sinx+cosx≤√2.因此-(√2+1)/2≤-1/2+(sinx+cosx)/2≤(√2-1)/2.
综上所述,y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域是[-(√2+1)/2,(√2-1)/2].