题目
在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2+
bc，若a=
，S为△ABC的面积，则S+3cosBcosC的最大值为（ ）
A.
B. 3
C. 2
D.
| 3 |
| 3 |
A.
| 2 |
B. 3
C. 2
D.
| 3 |
提问时间：2020-10-22
答案
∵a2=b2+c2+
bc，
∴cosA=
=-
，
∴A=
，
由正弦定理 c=a•
，
∴S=
2=a2
=3sinBsinC
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C）≤3，
故选B．
| 3 |
∴cosA=
| b2+c2−a2 |
| 2bc |
| ||
| 2 |
∴A=
| 5π |
| 6 |
由正弦定理 c=a•
| sinC |
| sinA |
∴S=
| acsinB |
| 2 |
| sinBsinC |
| 2sinA |
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C）≤3，
故选B．
先利用余弦定理求得A，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+3cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．
正弦定理；余弦定理．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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