题目

（1）求证：关于x的方程（n-1）x²十mx+1=0①有两个相等的实数根．
关于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0②必有两个不相等的实数根；
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m²n十12n的值．

提问时间：2020-10-22

答案

（1）证明：由方程①得n-1≠0，m²-4×（n-1）=0．
∴m²=4（n-1）且m≠0，则n-1＞0．
方程②中△=4m²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=8m²（n+3）（n-1）．
∵n-1＞0．
∴△＞0．方程②必有两个不相等的实数根．
（2）由m²=4（n-1），得n-1=

m2

4

．代入第一个方程，得

m2

4

x²+mx+1=0，解得x=-

2

m

．
把

2

m

代入第二个方程，得
m²×（

2

m

）²-2m×

2

m

-m²-2n²+3=0．
整理得2n²+4n=7．
∴m²n十12n=n（m²+12）
=n（4n-4+12）
=4n²+8n
=2（2n²+4n）
=14．