题目

求函数y=sin^x+2sinxcosx+3cos^x的最小值,并指出此时x的取值

提问时间：2020-10-21

答案

sin^x,3cos^x是平方吗?
如果是的话可以这样解
y=sin^2（x）+2sinxcosx+3cos^2（x）=sin^2（x）+cos^2（x）+sin(2x)+2cos^2（x）
=sin(2x)+2cos^2（x）+1
又因为2cos^2(x)=cos(2x)+1【倍角公式】
所以y=sin(2x)+2cos^2(x)+1=sin(2x)+cos(2x)+2=[2^(1/2)]cos(2x-45°)+2【[2^(1/2)]等于根号2】
因为cos(2x-45°)最大值为1 最小值为-1
所以 y=sin^2（x）+2sinxcosx+3cos^2（x）的最小值为2-[2^(1/2)]
取到最小值时cos(2x-45°)=-1 则 2x-45°=2kx360°+180° k 属于整数也即
2x-π/4=2kπ+π 所以x=kπ+5π/8 k 属于整数
y的最小值为 2-[2^(1/2)] 此时x的值为 x=kπ+5π/8 k 属于整数