题目

[文]已知不等式x²+px+1＞2x+p．
（1）如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的范围；
（2）如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的范围．

提问时间：2020-10-21

答案

（1）原不等式为（x-1）p+（x-1）²＞0，
x=1时，有（x-1）p+（x-1）²=0，不等式不成立，
则必有x≠1，
x≠1时，令f（p）=（x-1）p+（x-1）²，f（p）是关于p的一次函数，
此时其定义域为[-2，2]，由一次函数的单调性知

f(−2)＝(x−1)(x−3)＞0 f(2)＝(x−1)(x+1)＞0

，
解得x＜-1或x＞3．
即x的取值范围是{x|x＜-1或x＞3}．
（2）不等式可化为（x-1）p＞-x²+2x-1，
∵2≤x≤4，∴x-1＞0．
∴p＞

−x2+2x−1

x−1

=1-x．
对x∈[2，4]恒成立，
所以p＞（1-x）_max．
当2≤x≤4时，（1-x）_max=-1，
于是p＞-1．故p的范围是{p|p＞-1}．

（1）是对|p|≤2时恒成立，可看作关于p的一次不等式恒成立，只要两端点满足要求即可；
（2）是对2≤x≤4时恒成立，可用分离参数求最值，或者转化为二次函数求最值，结合二次函数图象解决即可．

本题考点：其他不等式的解法．

考点点评：本题为不等式恒成立问题，常用方法有：分离参数求最值、直接求最值、主参换位等．