题目

线性代数的证明题
设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 λ1, λ2, …… λn,证明：
(1)λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann;
(2)λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜.
没有，书上没有给出证明，所以我才来提问的

提问时间：2020-10-21

答案

特征方程|λEn-A|=0的根为λ1, λ2, … λn
则|λEn-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=λ^n-(∑λi)λ^(n-1)+…+(-1)^n(∏λi)
取λ=0,即得|-A|=(-1)^n(∏λi)
因而|A|=∏λi,即λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜
再根据行列式定义可得,
|λEn-A|=(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann)+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
=λ^n-(∑aii)λ^(n-1)+…+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
比较上面两个|λEn-A|的两个展开式中λ^(n-1)的系数,即得
λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann