题目

求过原点,且与两直线x+2y-9=0,2x-y+2=0相切的圆的方程

提问时间：2020-10-21

答案

求通过原点且与两直线：x+2y-9=0 2x-y+2=0相切的圆的方程
答案在下面：
L1:X+2Y-9=0,斜率K1=-1/2.
L2:2X-Y+2=0,斜率K2=2.
K1*K2=(-1/2)*2=-1,故L1⊥L1.两式连立求解得L1与L2交点A的坐标为(1,4).
为便于称呼,在L1上取任一点B(9,0),在L2上任取一点C(-1,0).
过A作∠BOC的平分线L3,设其倾角为α3,L2的倾角为α2,则α3=α2+45°,因此L3的斜率K3=tanα3=tan(α2+45°)=(tanα2+tan45°)/(1-tanα2tan45°)
=(k2+1)/(1-k2)=(2+1)/(1-2)=-3.故L3的方程为:
L3:3X+Y-7=0.
所求园的园心在L3上,因此可设园心M的坐标为(a,7-3a).利用园心M到直线L2的
距离=M到原点的距离可得等式:
｜2a-(7-3a)+2｜/√5=√[a^2+(7-3a)^2],即
｜5a-5｜/√5=√(10a^2-42a+49),两边平方得:
5a^2-10a+5=10a^2-42a+49.
即5a^2-32a+44=0
即(5a-22)(a-2)=0,∴a=22/5或a=2,从而得园心M的坐标为M1(22/5,-31/5)或M2(2,1).于是R1=｜OM1｜=｜5*(22/5)-5｜/√5=17/√5; R2=｜OM2｜=
｜5*2-5｜/√5=5/√5=√5.故所求园的方程为:
园M1:(x-22/5)^2+(y+31/5)^2=289/5,或写成(5x-22)^2+(5y+31)^2=1445
园M2:(x-2)^2+(y-1)^2=5.