题目

束缚态一定具有离散能级吗?
量子力学中,束缚态,比如无限深势阱,谐振子势,都具有分立的能级；而散射态,比如自由粒子,E>0的delta势阱等,都具有连续的能谱.
故请问：是否一般的束缚态一定只给出分立能级,同样散射态只有连续谱?有没有一般的证明?能否简单说明.或给一个参考资料也可以.

提问时间：2020-10-21

答案

首先,分立能级一定是束缚态,散射态一定是连续谱.连续能谱中有可能存在偶然的束缚态,但一定是对应一个特定的本征值（能量）,而在这个值的邻域所对应的都是散射态,因此并不具备物理意义（（1）在连续谱中实验恰好取到这个能量的概率是0.（2）即使瞬时可以做到,由于系统和环境之间的相互作用,肯定会破坏这个束缚态）,我们不应该认为这是个“真实”的束缚态,因此说束缚态一定有离散能级不应算错.详情可参阅朗道的《量子力学（非相对论理论》§10定态和§18 薛定谔方程的基本性质.
分立能级具有束缚态的简单理解是,对于分立能级的任意一个本征波函数,它的模方对全空间积分应该是有限值（从而可以归一化,几率解释才可以成立）,因此必然在无穷远处要趋于零,因此是束缚态.