题目

函数y=（cosθ）x²-4（sinθ）x+6对任意实数x都有y＞0，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围是______

提问时间：2020-10-21

答案

由题意得

cosθ＞0 △＝16sin2θ−24cosθ＜0

即

cosθ＞0 2(1−cos2θ)−3cosθ＜0

（2cosθ-1）（cosθ+2）＞0，
解得cosθ＞

1

2

，又因为0°＜θ＜180°
所以θ的取值范围为0°＜θ＜60°．
故答案为0°＜θ＜60°．

因为cosθ＞0，所以只要△＜0，函数值恒为正．由△＜0，得到三角函数不等式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出θ的取值范围．

本题考点：根的判别式；锐角三角函数的增减性．

考点点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正余弦的平方和为1．记住特殊角的三角函数值．