题目

如何确定二项展开式中哪一项的系数最大?

提问时间：2020-10-21

答案

关于二项展开式的系数有两个易混淆的概念,
一是二项式定理中各项系数,C(n,0),C(n,1),C(n,2),……,C(n,n)
其中系数最大项为中间一项(指数为偶数时)或中间两项(指数为奇数时)
另一是展开后的多项式各项关于某个字母(实际是元)的系数,
比如(2x+3y)^n展开后,关于x,y的系数分别为C(n,0)*2^n*3^0,C(n,1)*2^(n-1)*3^1,C(n,2)*2^(n-2)*3^2,……,C(n,n)*2^0*3^n
其中系数最大项要通过解两不等式组成的组解决
仍以(2x+3y)^n展开式关于x,y的系数为例,设第r+1项的系数最大,
则C(n,r)*2^(n-r)*3^rC(n,r+1)*2^(n-r-1)*3^(r+1) [大于后一项系数]
且C(n,r)*2^(n-r)C(n,r-1)*2^(n-r+1)*3^(r-1) [大于前一项系数]解出r如果二项中有负号,那么系数是正负相间的,仅仅比较前后两项的系数大小是不行的.
用以上方法可以比出系数绝对值的大小,还要结合正负号,加以综合判断,首先取正数,然后取正系数中绝对值最大的数.