题目
设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)
当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
提问时间:2020-10-21
答案
证:
设一实数c,使f(c)=b,
(1)如果c≥a;
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b + ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
得 a*b = ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
又因 f(x)为[0,+∞)上连续的严格递增函数,则f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,得
因c≥a,- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
(2)如果 c≤a
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b - ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy
由于f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,则- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
等式成立.
另,当- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy 或- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy 为0时,等号成立.
由于f^-1(x)严格递增,所以当f(c)=f(a)时,即c=a时,有
- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy = - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy = 0
即f(a)=f(c)=b (前面已定义f(c)=b)
设一实数c,使f(c)=b,
(1)如果c≥a;
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b + ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
得 a*b = ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
又因 f(x)为[0,+∞)上连续的严格递增函数,则f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,得
因c≥a,- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
(2)如果 c≤a
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b - ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy
由于f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,则- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
等式成立.
另,当- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy 或- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy 为0时,等号成立.
由于f^-1(x)严格递增,所以当f(c)=f(a)时,即c=a时,有
- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy = - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy = 0
即f(a)=f(c)=b (前面已定义f(c)=b)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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