题目

已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．

提问时间：2020-10-21

答案

证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，
∵△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵点E在∠BAC的平分线上，
∴GE=DE，
∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D
∴ED=FH，
∴GE=FH，
在△BEG与△CFH中，

∠C=∠ABD ∠BGE=∠FHC GE=FH

，
∴△BEG≌△CFH（AAS），
∴BE=CF．

过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，先通过等量代换得出∠C=∠ABD，再根据角平分线的性质得出GE=DE，由AAS定理得出△BEG≌△CFH，故可得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．