题目

材料力学,用积分法求梯形的惯性矩,

提问时间：2020-10-21

答案

设梯形上边长、下边长和高分别为a、b、h
坐标系：取下底边建x轴,y轴沿高向,则有：
先由中性面静矩为0求中性面位置：0=∫((h-y)/h*(b-a)+a)*(y-y0)dy
再求中性面的惯性矩：Iyy0=∫((h-y)/h*(b-a)+a)*(y-y0)²dy
解得：
y0=(2a+b)h/(3(a+b))
Iyy0=(a²+4ab+b²)h³/(36(a+b))
如果嫌惯性矩积分麻烦,也可以先求对底边的惯性矩：Iyyb=∫((h-y)/h*(b-a)+a)*y²dy
同时梯形面积：A=(a+b)/2h
则对中性面的惯性矩通过惯性矩平移公式有：Iyy0=Iyyb-A*y0²
解得：
Iyyb=(3a+b)h³/12
Iyy0=(a²+4ab+b²)h³/(36(a+b))