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题目
(2003•武汉)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③-a+b+c>0;④b2-2ac>5a2,其中正确的个数有(  )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

提问时间:2020-10-21

答案
(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),
所以原式可化为a-b+c=0----①,
又因为4a+2b+c>0----②,
所以②-①得:3a+3b>0,
即a+b>0;
(2)②+①×2得,6a+3c>0,
即2a+c>0,
∴a+c>-a,
∵a<0,
∴-a>0,
故a+c>0;
(3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)当x=2时的值大于0,草图为:
可见c>0,
∵a-b+c=0,
∴-a+b-c=0,
两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c,
整理得-a+b+c=2c>0,
即-a+b+c>0;
(4)∵过(-1,0),代入得a-b+c=0,
∴b2-2ac-5a2=(a+c)2-2ac-5a2=c2-4a2=(c+2a)(c-2a)
又∵4a+2b+c>0
4a+2(a+c)+c>0
即2a+c>0①
∵a<0,
∴c>0
则c-2a>0②
由①②知(c+2a)(c-2a)>0,
所以b2-2ac-5a2>0,
即b2-2ac>5a2
综上可知正确的个数有4个.
故选D.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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