题目

设MN与PQ是经过抛物线焦点的两条互相垂直的弦,它们的长度分别是a和b,求证：1/a+1/b是常量
最好用极坐标

提问时间：2020-10-20

答案

令抛物线为ρ=p/(1-cosθ)
MN的弦为θ=α
PQ的弦为θ=α+π/2
则有
a=p/(1-cosα)+p/(1-cos(π+α))=p/(1-cosα)+p/(1+cosα)=2p/(sinα)^2
b=2p/sin(α+π/2)^2=2p/(cosα)^2
1/a+1/b=1/2p=常量