题目

有个一千位数,由888个1和112个0组成,他能否是一个完全平方数?
如果是一和零交叉着呢

提问时间：2020-10-20

答案

问题的关键就是888个1组成的888位数是不是完全平方数.如是,那么这个一千位数是完全平方数,反之则否.
显然,我们有
两个N位数相乘,N个3组成的数的平方
33…3×33…3
= 11…1×99…9
= 11…1×（100…0 - 1）
= 11…100…0 - 11…1
= N-1个1,1个0,N-1个8,1个9 这样的2N位的数.（N = 1时就1位.）
两个N位数相乘,N-1个3,1个4组成的数的平方
33…4×33…4
= （33…3 + 1）×（33…3 + 1）
= 33…3^2 + 2×33…3 + 1
= N个1,N-1个5,1个6 这样的2N位的数.
而对2N位的111…1来说
【N-1个1,1个0,N-1个8,1个9】 ＜ 111…1 ＜ 【N个1,N-1个5,1个6】
即
33…3^2 ＜ 111…1 ＜ 33…4^2
显然,111…1不是个完全平方数.
因此,111…1后偶数个0也必不是完全平方数.