题目
如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.
(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.
(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.
提问时间:2020-10-20
答案
(1)设抛物线C:y2=2px(p>0),则2p=8,从而p=4
因此焦点F(2,0),准线方程为x=-2;
(2)证明:作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C,D.
则由抛物线的定义,可得|FA|=|AC|,|FB|=|BD|
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4,∴|FA|=
同理|FB|=
记直线m与AB的交点为E,则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-
=
(|FA|−|FB|)=
∴|FP|=
=
∴|FP|-|FP|cos2α=
(1-cos2α)=8.
因此焦点F(2,0),准线方程为x=-2;
(2)证明:作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C,D.
则由抛物线的定义,可得|FA|=|AC|,|FB|=|BD|
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4,∴|FA|=
4 |
1−cosα |
同理|FB|=
4 |
1+cosα |
记直线m与AB的交点为E,则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-
|FA|+|FB| |
2 |
1 |
2 |
4cosα |
sin2α |
∴|FP|=
|FE| |
cosα |
4 |
sin2α |
∴|FP|-|FP|cos2α=
4 |
sin2α |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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