题目

数列{an}的前n项和Sn=na+（n-1）n·b ,（n=1、2、3、…） a、b是常数,且b不等于0
（1）、证明{an}是等差数列
（2）、证明以（an,sn/n-1）为坐标的点pn都落在同一条直线上,并求出此直线方程

提问时间：2020-10-20

答案

(1)
证明:
Sn = na + n(n-1)b = na + b*(n^2 - n)
所以S(n-1) = (n-1)a + b*((n-1)^2 - (n-1)) = (na-a) + b*(n^2 - 3n + 2)
因此An = Sn - S(n-1)
= a + b*(2n - 2) = a + 2b*(n-1)
因为b不为0,所以An是一个以a为首项,2b为公差的等差数列.
(2)
证明：
Sn/n - 1 = a + (n-1)b - 1,
An = a+2b*(n-1)
所以相邻两点确定的直线的斜率为：
[Sn/n - 1 - S(n-1)/(n-1) + 1] / [(An - A(n-1)]
= [a + (n-1)b - 1 - a - (n-2)b + 1] / 2b
= b/2b = 1/2
所以相邻两点确定的直线的斜率都是1/2,故所有的点都在这条斜率为1/2的直线上.
因为An = a,S1/1 - 1 = a1 - 1 = a-1
所以直线方程为：
y - (a-1) = 1/2 * (x - a)
展开为
2y -2a + 2 = x-a
即x - 2y + (a-2) = 0