题目

在空间直角坐标系中,方程(x-3)^2+（y-4）＾2+z^2＝2表示什么图形?并求x^2+y^2+z^2的最小值．
能求出三个未知数的具体的值吗?
所以和球心的连线的直线的方程是（x-3）/3=（y-4）/4=z/0什么意思？

提问时间：2020-10-19

答案

在空间内到定点的距离等于定长的点的集合,你觉得是什么呢?当然是一个球面了……后面的空间的规划,则可视作是以原点为球心的一系列的球面,当然是其中的一个球面和前面的那个球面相切的那一点的值使得x^2+y^2+z^2最小了,而这一点恰好应该是(x-3)^2+（y-4）＾2+z^2＝2的球心和原点的连线和(x-3)^2+（y-4）＾2+z^2＝2的球面的交点,所以求出这个交点就是了,由于(x-3)^2+（y-4）＾2+z^2＝2的球心位于（3,4,0）,所以和球心的连线的直线的方程是（x-3）/3=（y-4）/4=z/0,即交点坐标是（x,y,0）,将直线和球的方程联立求交点坐标,结果有两个（（15+3*~2）/5,（20+4*~2）/5,0）,和（（15-3*~2）/5,（20-4*~2）/5,0）,显然值比较大的那个坐标是球心和原点的线段的延长线和球面的另一侧的交点,求比较小的就选小的点,即（（15-3*~2）/5,（20-4*~2）/5,0）,代入可计算得到x^2+y^2+z^2最小值是27-10*~2
（注：代表平方根,2代表2的平方根）
答案补充：三个未知数的具体值不是给出了吗?（（15+3*~2）/5,（20+4*~2）/5,0）,和（（15-3*~2）/5,（20-4*~2）/5,0）是两个空间坐标啊,取后者,原因前面已经说过了,“所以和球心的连线的直线的方程是（x-3）/3=（y-4）/4=z/0”的意思是：原点和那个已经给出的球体的球心的连线的方程可以得出来,（x-3）/3=（y-4）/4=z/0是空间内一条直线的方程啊……