题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n+n²-4n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-2n+1}为等比数列；
（Ⅲ）求S_n．

提问时间：2020-10-19

答案

（Ⅰ）由S_n=2a_n+n²-4n，
当n=1时，a₁=2a₁+1-4，可得a₁=3．a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-4（n+1）-2a_n-n²+4n，
可得a_n+1=2a_n-2n+3．
可得a₂=7，a₃=13．　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n-2n+3可得，

an+1−2(n+1)+1

an−2n+1

＝

2an−2n+3−2(n+1)+1

an−2n+1

＝

2an−4n+2

an−2n+1

＝2．
又a₁-2×1+1=2．
所以数列{a_n-2n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．　　
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，a_n-2n+1=2ⁿ．
所以a_n=2n-1+2ⁿ．
又S_n=2a_n+n²-4n，
可得S_n=2ⁿ⁺¹+n²-2．