题目

如何证明当边数是偶数时各内角相等的圆内接多边形不一定是正多边形,边数为奇数则反之?证不出请给反例.

提问时间：2020-10-19

答案

各内角相等的圆内接多边形:
(1)当边数为偶数时,它不一定是正多边形;
(2)当边数为奇数时,它一定是正多边形.
简析:
(1)当边数为偶数时:如左图,在圆上画出圆的三等分点,再稍错开一点位置,再画了三个三等分点.
易知,图中三条较长的弧相等,三条较短的弧相等,可知它每个内角都相等.但它并不是正六边形.
再如我们熟悉的矩形,虽然各角相等,且有外接圆,但它也不是正四边形.
(2)当边数为奇数时;如右图:(以五边形为例)
圆内接五边形ABCDE中,五个内角都相等;
∠A=∠B,则:弧BCE=弧CDA,可得:弧AE=弧BC;
同理:弧BC=弧DE=弧AB=弧CD.
所以,五条弧都相等,故AB=BC=CD=DE=EA.
五边形ABCDE五个内角都相等,五条边都相等,故它是正多边形.
(当边数为其他奇数时,证法类似)