题目

一道数学题,有关求导的
设抛物线C1:y1=x^2-2x+2与抛物线C2:y2=-x^2+ax+b在它们的一个公共点处的切线互相垂直
1.求a,b之间的关系
2.若a＞0,b＞0,求ab的最大值
PS.我做着做着直接把a,b的值求出来了= =||||,莫名其妙...

提问时间：2020-10-19

答案

1,因为两抛物线有一个公共点,所以有方程x^2-2x+2==-x^2+ax+b有解,即2x^2-(a+2)x+2-b=0有解,故有判别式要大于或等于0,即：（a+2)^2-8(2-b)>=0
设这个公共点A的坐标为（x1,y1).分别对两抛物线的解析式求导有y1'=2x-2,y2'=-2x+a,因为两抛物线在公共点A的切线相互垂直,那么就有(2x1-2)(-2x1+a)=-1,进行化简得到4x1^2-2(a+2)x+2a-1=0,且有x1是方程2x^2-(a+2)x+2-b=0的解,所以有2x1^2-(a+2)x1+2-b=0因此有2x1^2-(a+2)x1=b-2代入上式中得到a+b=5/2,将b=5/2-a代入到（a+2)^2-8(2-b)>=0中得到a^2-4a+8=(a-2)^2+4>=0恒成立,所以a可以为任意值,没有范围限制,那么a,b关系为a+b=5/2
2,因为a＞0,b＞0而且a+b=5/2直接利用不等式得到ab的最大值为25/16此时有a=b=5/4