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题目
如图,对称轴为直线x=3的抛物线y=ax平方+2x与x轴交于点B、O
(1)求抛物线的解析式,并求出点A的坐标
(2)连结AB,把AB所在的直线平移,使它经过原点O,得到直线l,点P是l上一动点,设以A、B、O、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当9<S≤18时,求t的取值范围
(3)在(2)的条件下,当t取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使△OPQ以为OP为直角边的直角三角形:若存在,直接写出点Q的坐标:若不存在,说明理由

提问时间:2020-10-19

答案
1.∵y=ax²+2x的对称轴是直线x=3,
∴-2/2a=3 a= -1/3
∴y=-1/3x²+2x
当x=3时
y=-1/3*3²+2*3=3
∴A(3,3)
2. 令对称轴与x轴交于D ∴D(3,0) 由抛物线的对称性可知:B(6,0)
设直线AB的函数解析式是y2=kx+b2 ∵图像过B(6,0) A(3,3)
由待定系数法可得:
……
y2= -x+6
∵AB‖直线l 且直线l过原点O
∴l的解析式:y3=-x
令直线l与对称轴交于E
∴∠BOE=45°
过B作BF⊥直线l于F
在Rt△BOF中,
sin∠BOF=BF/OB=√2/2
又OB=6 ∴BF=3√2
∵0<S≤18
∴当s=18时,即: OP*BF=18
所以OP=3√2
易得:-3≤t≤3且t≠0
(3)t的最大值:3
∴P(3,-3)
①过O作OQ1⊥OP交抛物线于Q
连接OA
∵OD=BD=DA=3
所以∠OAB=90°
∵AB‖直线l
∴可得:∠AOP=90°
所以此时A与Q1重合
∴Q1(3,3)
②同理:连接BP
可证:Q2与B重合:即,Q2(6,0)
设BP的函数解析式为y4=k2x+b3(k2≠0)
可得:y4=x-6 ①
y=-1/3x²+2x ②
把①代入②:x1=-3 y1=-9
X2=6 y2=0
∵Q2(6,0)
∴Q3(-3,-9)
综上所述,存在点Q 点Q坐标为:(3,3)(6,0)或(-3,-9)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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