题目

证明 二次根号下2不是有理数.

提问时间：2020-10-19

答案

1.使用反证法可以证明
若根2为有理数,可设根2=p/q满足p,q为非0整数且互质.
推出2*q^2=p^2
推出p^2是偶数
推出2*q^2被四整除
推出q^2是偶数
推出q,p是偶数
推出p,q不互质,矛盾
所以根2不是有理数
2.如果根号2是一个分数,那么根号2可以表示为m/n(m、n是正整数,且没有大于1的公约数）,即根号2=m/n.
根据平方根的意义,（m/n)的平方等于2,即m平方/n平方等于2,
2*n的平方=m平方.
由于上式左边是偶数,所以右边也是偶数,从而m也是偶数.
设m=2p（p是正整数）,
把m=2p代入2*n的平方=m平方,得
2*n的平方=4*p的平方,即n平方=2*p的平方.
因此,n也是偶数.
于是,m、n都是偶数,所以m、n都是2的倍数,这与m、n没有大于1的公约数相矛盾.
因此,根号2=m/n是不可能的,也就是说根号2不是分数,所以不是有理数.