题目
证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
提问时间:2020-10-19
答案
必要性:
若H是G的子群,自然非空,并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅,并对任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H,由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.
至此我们证明了,H对G的乘法封闭.
1) G作为群,其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H,e作为G的单位元,满足对任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群,即H是G的子群.
注:如果承认子群的等价定义:对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.
若H是G的子群,自然非空,并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅,并对任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H,由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.
至此我们证明了,H对G的乘法封闭.
1) G作为群,其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H,e作为G的单位元,满足对任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群,即H是G的子群.
注:如果承认子群的等价定义:对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1[1]2,8乘[7分之1加上28分之3].[2]101乘102分之99 [3]55000除25除4 [4]23乘39分之14加14乘39分之16
- 2二氧化氮和四氧化二氮的总质量是46克,原子数是,三摩尔.,指的是三摩尔NO2,还是3摩尔原子,这个原子指什么?
- 3如图是一个平行四边形土地ABCD,后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘EFGH,现准备将其分成两块,并使其满足:两块地的面积相等,分割线恰好做成水渠,便于灌溉,请你在图中画出分
- 4《故宫博物院》课文
- 50.5除以2和12.36除以12的竖式计算
- 6哑孝子原文译文!
- 7五个人平均分一包糖.每人吃15块后,五人剩下的总数于每人开始分得的一样多.这包糖原有多少块?
- 81、 假设棒球的质量为m,运动员手握O处挥棒击球,质心C到O轴的距离为R,球棒对O轴的转动惯量为I,若在轴下
- 9( )立方米的十一份之六的18立方米
- 10某同学在计算“25+x”时,误将看成了+看成了-,结果得17,则“25+x”的正确答案应为?
热门考点
- 1How do you meet new people? 用英文答.
- 2We all know that the Spring Festival is a chineese ___(tradition) festival.
- 3以 我是一个( )的孩子为题 写一篇作文
- 4如果A,B,C是一组勾股数,那么AK,BK,CK(K是正数) 是一组勾股数?
- 5My hometown is very different now.There ______ _______(be)a lot of changes
- 6一元二次方程x2-4x+a=0有两个实数根,一个大于3,一个小于3,求a的取值范围.
- 7红细胞、白细胞、血小板的英文简称各是什么?
- 8x的3-a次方+3x-10=0和x的3b-4次方+6x+8=0都是一元二次方程,求(√a-√b)的2007次方*(√a-√b)的2007次方的值.
- 9the civil right movement
- 10若log3^2=a 用a表示代数式log2^12