题目

椭圆ax^2+by^2=1的短轴长是长抽长的一半,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且PQ=10,求椭圆的方程

提问时间：2020-10-19

答案

由c/a=√3/2 =>(a^2-b^2)/a^2=3/4
=>a^2=4*b^2
则 椭圆方程可写成x^2/（4*b^2)+y^2/b^2=1
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由 x^2/（4*b^2)+y^2/b^2=1与x+2y+8=0联立得：
x^2-8x+32-2*b^2=0
则由韦达定理有：x1+x2=8,x1*x2=32-2*b^2 ----①
又由弦长公式有：（√(1+1/4))*√((x1+x2)^2-4*x1*x2)=√10 ----②
①②联立解得：b^2=9
∴a^2=4*b^2=36
∴椭圆的方程为：x^2/36+y^2/9=1