题目

已知a＞0,b＞0,方程X2十（a十bi）X十1十ai=0有实数根,求a的最小值,并求当a取最小值,解此方程.

提问时间：2020-10-19

答案

方程整理得：(X^2+aX+1)+(bX+a)i = 0 ,
已知,方程有实数根,可得：X^2+aX+1 = 0 且 bX+a = 0 .
由 bX+a = 0 ,可得：X = -a/b ,
代入 X^2+aX+1 = 0 ,整理得：b^2-a^2b+a^2 = 0 ；
看作是b的方程有实数根,则判别式 = a^4-4a^2 ≥ 0 ,
且已知 a > 0 ,解得：a ≥ 2 ；
即有：a的最小值为 2 .
则有：b^2-4b+4 = 0 ,解得：b = 2 ；
所以,方程的解为 X = -a/b = -1 .