题目

已知点C为直线AB上的一个动点,且E、F分别是AC、BC的中点.
（1）若点C在直线AB上运动时,试研究AB与EF有怎样的数量关系?

提问时间：2020-10-18

答案

（1）方法一：分类讨论.
当C在线段AB上,AC+BC=AB,EC=AC/2,FC=BC/2,EF=EC+FC=AC/2+BC/2=(AC+BC)/2=AB/2；
当C不在线段AB上,不妨设在AB延长线上,则AC-BC=AB,EC=AC/2,FC=BC/2,
EF=EC-FC=AC/2-BC/2=(AC-BC)/2=AB/2.
综上,EF=AB/2,即AB=2EF.
方法二：数轴法.
以点A为原点,AB方向为正方向,AB为单位长建立数轴,
（下面以小写字母代替相应的大写字母对应的数）
则a=0,b=1,e=(a+c)/2=c/2,f=(b+c)/2=c/2+1/2,
f-e=c/2+1/2-c/2=1/2=(b-a)/2,
所以EF=AB/2,即AB=2EF.
若C在整个平面上运动,利用三角形中位线,仍有EF=AB/2,AB=2EF.