题目

设x取正实数m时,二次函数f(x)有最大值4.又二次函数g(x)的最小值为3,且g(m)=11,f(x)+g(x)=x^2+4x+3,求f(x)和g(x)的解析式

提问时间：2020-10-18

答案

根据题意,当x取到m时,f（m）=4,g（m）=11
由fx+gx=x^2+4x+3,可得x^2+4x+3=11+4=15 解得m=-6或2,舍负
设fx=ax^2+bx+c,则可设gx=（1-a）x^2+（4-b）x+3-c
又因为x取m,有最大值,所以b/-2a=m=2 4ac-b^2/4a=4
化简后得到4a+4=c b=-4a
再由gx最小值为3,可得4(1-a)(3-c)-(4-b)^2/4(1-a)=3
将上述两式代入上式,化简后得到a=-1,则b=4,c=0
可得fx=-x^2+4x