题目

物理题与数学题的完美结合
一物体在高H出以初速度V_0下降,在空中受到的阻力为F=f_d V^2,其中f_d是F的系数,V表示速度.物体的质量为M,请求物体在下降过程中阻力所作的功W是多少

提问时间：2020-10-18

答案

你写的那几个参数有些复杂,这样给你改下：一质量为m物体在高H出以初速度Vo下降,在空中受到的阻力为F=-kv²,其中k是阻力F的系数,负号表示其方向与重力方向相反；v表示速度.
你看行不?这样比较好书写点～
解这个题的关键是求加速度a=(G-F)/m=dv/dt,也就是说：dv/dt=(G-F)/m=g-F/m=g+kv²/m,这是一个微分方程,具体求解如下：
dv/dt=g+kv²/m
dv/(g+kv²/m)=dt
∫dv/(g+kv²/m)=∫dt ∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
arctan[v·√(k/mg)]/√g+C=√(k/m)t
当开始计时的时候,物体在H,t=0,v=Vo,代入确定积分常数C,有：arctan[Vo·√(k/mg)]/√g+C=√(k/m)×0,即C=-arctan[Vo·√(k/mg)]/√g.
在下落过程中,速度达到最大值的时候加速度为0,也就是G=F,即mg=kv²,故末速度Vt=√(mg/k).代入末速度可求到物体下落到开始匀速运动的时候的时间Δt=arctan[Vt·√(k/mg)]/√g-arctan[Vo·√(k/mg)]/√(gk/m)=(arctan1)/√g-arctan[Vo·√(k/mg)]/√(gk/m)=π/4√g-arctan[Vo·√(k/mg)]/√(gk/m).★代入你给的数据就可以求出这个时间了.
另外,知道了arctan[v·√(k/mg)]/√g-arctan[Vo·√(k/mg)]/√g=√(k/m)t,可解出：arctan[v·√(k/mg)]=√(gk/m)t+arctan[Vo·√(k/mg)],即v·√(k/mg)=tan{√(gk/m)t+arctan[Vo·√(k/mg)]},v=tan{√(gk/m)t+arctan[Vo·√(k/mg)]}×√(mg/k).
然后,对v进行时间积分,s=∫vdt=∫tan{√(gk/m)t+arctan[Vo·√(k/mg)]}×√(mg/k)=-√(mg/k)·ln|cos{√(gk/m)t+arctan[Vo·√(k/mg)]}|+C’,当t=0的时候,s=H,代入确定积分常数C’.
然后判断H和s(t)的大小,如果H≥s(Δt),则W=Fs,代入上述值计算即可；
如果H＜s(Δt),则W=Fs+G·[s(Δt)-H].