题目

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=2，AB=3，AD=7，在线段AD上能否找到一个点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应的PD的长；若不能，说明理由．

提问时间：2020-10-18

答案

能相似．
如图：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠A=∠D=90°，
设PD=x，
∵CD=2，AB=3，AD=7，
则PA=AD-PD=7-x，
∴①当

CD

AB

＝

PD

PA

时，△PCD∽△PBA，
则

2

3

＝

x

7−x

，
解得：x=

14

5

，
∴PD=

14

5

；
②当

CD

PA

＝

PD

AB

时，△PCD∽△BPA，
则

2

7−x

＝

x

3

，
解得：x=1或x=6，
∴PD=1或6，
∴这样的点有3个，PD的长为

14

5

或1或6．