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题目
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求f(x);
(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.

提问时间:2020-10-18

答案
(1)设f(x)=ax2+bx+c,
则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b
∴由题
c=1
2ax+a+b=2x
恒成立
2a=2
a+b=0
c=1
 得 
a=1
b=−1
c=1

∴f(x)=x2-x+1
(2)f(x)=x2-x+1=(x−
1
2
)
2
+
3
4
在[-1,
1
2
]单调递减,在[
1
2
,1]单调递增
f(x)min=f(
1
2
)=
3
4
,f(x)max=f(-1)=3
(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b,根据对应项的系数相等可分别求a,b,c.
(2)对函数进行配方,结合二次函数在[-1,1]上的单调性可分别求解函数的最值.

二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质.

本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式,及二次函数在闭区间上的最值的求解,要注意函数在所给区间上的单调性,一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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