题目

已知函数f(x)的定义域为D,且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减
②存在区间[a,b]真包含于D（其中a（1）.求闭函数y=-x^3符合条件②的区间[a,b]
（2）.判断函数y=lgx是不是闭函数?若是,请说明理由,并找出区间[a,b]；若不是,请说明理由
（3）.若y=k+√(x+2)是闭函数,求实数k的取值范围

提问时间：2020-10-18

答案

[1]y=-x^3是减函数,设这个区间为[a,b]
f(x)是闭函数,x∈[a,b],f(x)∈[a,b]
f(a)=b=-a^3
f(b)=a=-b^3
a=b=0舍弃,a=-1,b=1,区间是[-1,1]
[2]设f(x)=lgx是闭函数,这个区间是[a,b]af(x)是增函数,那么
f(a)=a=lga
f(b)=b=lgb
则a=b,与a[3]这个区间为[a,b],y=k+√(x+2),是增函数,
f(a)=a=k+√(a+2).(1)
f(b)=b=k+√(b+2).(2)
有（1）（2）得：a,b是方程
k+√(x+2)=x的两个不同的根
并且a≥-2,b≥-2
对构造的方程变形：
x+2=x²-2kx+k²
x²-(2k+1)x+k²-2=0
问题转化为了这个一元二次方程有两个大于-2的不同的根：
得到不等式组：
Δ=(2k+1)²-4(k²-2)＞0
f(-2)=4+2(2k+1)+k²-2>0
对称轴:(2k+1)/2>0
k＞-1/2