题目

数列an中a1=1,且对任意n皆有1/根号a1+1/根号a2+.+1/根号an=1/2根号an*an+1,求an通项公式

提问时间：2020-10-18

答案

算术平方根恒非负,an≥0,分式有意义,an≠0
an>0
1/√a1=1/[2√(a1a2)]
1/√a2=2
√a2=1/2
a2=1/4
1/√a1+1/√a2+...+1/√an=1/{2√[ana(n+1)]} (1)
1/√a1+1/√a2+...+1/√a(n-1)=1/{2√[a(n-1)an]} (2)
(1)-(2)
1/√an=1/{2√[ana(n+1)]}-1/{2√[a(n-1)an]}
1/√[a(n+1)]-1/√[a(n-1)]=2,为定值.
数列{1/√an}奇数项是以1为首项,2为公差的等差数列；偶数项是以2为首项,2为公差的等差数列.
1/√a(2n-1)=1+2(n-1)=2n-1
a(2n-1)=1/(2n-1)²
1/√a(2n)=2+2(n-1)=2n
a(2n)=1/(2n)²
综上,得an=1/n²
n=1时,a1=1/1²=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=1/n².