题目

如何单摆周期公式推导

提问时间：2020-10-18

答案

这里我只做一个对比来说明单摆是简谐振动,具体推到你可以去解微分方程,其实也很简单就能算出它的表达式.
首先我们知道弹簧振子的振动是简谐振动（要是这个不知道那就没办法了）,弹簧的胡克定律是
F=k‘x
也就是ma=k’x,则有 a=k‘/m*x=kx
即 x’‘=kx （或者写成微分形式：d^2x/dt^2=kx）.(*)
只要表达式符合这样的相似条件,那么就是简谐振动.
现在我们假设摆动角度为θ,角速度为ω,角加速度为ɑ,
则有θ’=ω,ω‘=ɑ.
根据单摆的受力可知：mgsinθ=mθ’‘,即 gsinθ=θ’' .(#)
根据单摆的要求知道,摆角要小于5°,也就是说θ趋近于0,我们知道当θ→0时,sinθ→θ,也就是可以用θ来代替sinθ
即 sinθ=θ
所以（#）式可以转化为
gθ=θ'' 即 θ''=g θ （或者是d^2θ/dt^2=gθ）
这显然与（*）式的表达式是一致的,所以单摆是简谐振动