题目
是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
提问时间:2020-10-17
答案
设u(x)=ax2-x,显然二次函数u的对称轴为x=
.
①当a>1时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为增函数,
故应有
,解得 a>
.…(6分)
综合可得,a>1.…(7分)
②当0<a<1 时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为减函数,
应有
,解得a∈∅.…(14分)
综上,a>1时,函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上为增函数.…(16分)
1 |
2a |
①当a>1时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为增函数,
故应有
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1 |
2 |
综合可得,a>1.…(7分)
②当0<a<1 时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为减函数,
应有
|
综上,a>1时,函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上为增函数.…(16分)
设u(x)=ax2-x,显然二次函数u的对称轴为x=
.分当a>1时和当0<a<1 两种情况,分别利用二次
函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域,求得a的范围,综合可得结论.
1 |
2a |
函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域,求得a的范围,综合可得结论.
复合函数的单调性.
本题主要考查复合函数的单调性,体现了分了讨论、转化的数学思想,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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