题目

a^(-x)的导数怎么求?
初学导数,讲一下这个的运算法则,

提问时间：2020-10-17

答案

既然是初学的话,就不宜学这么深奥了.
我有3个方法,第①个是初学者的做法,第②,③个等你做熟点再用吧.
①：还记得导数定义吗?
y = ƒ(x) 则
ƒ'(x) = lim(Δx→0) [ƒ(x + Δx) - ƒ(x)]/Δx
对于y = a^(- x)
当x变为x + Δx时,y变为a^(- (x + Δx))
所以a^(- x)的导数
[a^(- x)]'
= lim(Δx→0) [ƒ(x + Δx) - ƒ(x)]/Δx
= lim(Δx→0) [a^(- (x + Δx)) - a^(- x)]/Δx
= lim(Δx→0) [a^(- x - Δx) - a^(- x)]/Δx
= lim(Δx→0) [a^(- x) • a^(- Δx) - a^(- x)]/Δx
= a^(- x) • lim(Δx→0) [a^(- Δx) - 1]/Δx
= a^(- x) • lim(Δx→0) [e^(ln(a^(- Δx))) - 1]/Δx,公式x = e^lnx
= a^(- x) • lim(- Δxlna→0) [e^(- Δxlna) - 1]/(- Δxlna) • (- lna)
= a^(- x) • lim(u→0) (e^u - 1)/u • (- lna),极限lim(u→0) (e^u - 1) = 1
= a^(- x) • 1 • (- lna)
= - a^(- x)lna
②：链式法则
y = a^(- x)是个复合函数,囊括了y = a^u,u = - x
所以根据导数的链式法则
y' = dy/dx = dy/du • du/dx
= d(a^u)/du • d(- x)/dx
= a^u • lna • (- 1),a^x的导数就是a^x • lna
= - a^(- x)lna
③：对数求导法则
y = a^(- x),两边取自然对数,利用对数性质化简复合函数
lny = ln(a^(- x))
lny = - x • lna,两边对x求导
y' • 1/y = - lna,lnx的导数是1/x,当x是复合函数时,有[lnƒ(x)]' = 1/ƒ(x) • ƒ'(x)
y' = - ylna
y' = - a^(- x)lna