题目

已知函数f(x)=

1

3

x3-bx2+c.（b，c为常数），当x=2时，函数f（x）取得极值，若函数f（x）只有三个零点，则实数c的取值范围___．

提问时间：2020-10-17

答案

∵f(x)=

1

3

x3-bx2+c∴f'（x）=x²-2bx，
当x=2时，f（x）取得极值，得b=1
又当x充分小时f（x）＜0又当x充分大时，f（x）＞0．
若f（x）=0有3个实根，则

f(0)=c＞0 f(2)= 1 3 ×23-22+c＜0

，
得0＜c＜

4

3

.
故答案为；0＜c＜

4

3

.

先对函数f（x）进行求导，然后根据函数取到极值时一定有导函数等于0可求出b的值，再判断函数f（x）的值域得到f（x）=0有3个实根的充分条件，从而得到答案．

本题考点：A:利用导数研究函数的极值 B:函数零点的判定定理

考点点评：本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，解题的关键是：深刻理解函数“零点”的定义及数形结合方法的使用．