题目

时钟指针重合问题的公式

提问时间：2020-10-17

答案

根据钟表的构造我们知道,一个圆周被分为12个大格,每一个大格代表1小时；同时每一个大格又分为5个小格,即一个圆周被分为60个小格,每一个小格代表1分钟.这样对应到角度问题上即为一个大格对应36 0°/12=30 °；一个小格对应360°/60=6°.现在我们把12点方向作为角的始边,把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边,则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度,分针所成的角为6n度,而这两个角度的差即为两指针的夹角.若用α表示此时两指针夹的度数,则α=30（m+n/60）-6n.考虑到两针的相对位置有前有后,为保证所求的角恒为正且不失解,我们给出下面的关系式：
α=|30（m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|.
这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式,例如：求5时40分两指针所夹的角.把m =5,n =4代入上式,得α=|150-220|=70（度）
利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题.因为两指针重合时,他们所夹的角为0,即公式中的α为0,再把时数代入就可求出n.例如：求3时多少分两指针重合.把α=0,m=3代入公式得：0=|30*3-11n/2|,解得n=180/11,即3时180/11分两指针重合.又如：求1点多少分两指针成直角.把α=90°,m=1代入公式得：90=|30*1-11n/2|解得n=240/11.（另一解为n=600/11）
上述公式也可写为|30m+0.5n-6n|.因为时针1小时转过30度,1分钟转过0.5度,分针1分钟转过6度.
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.当分针走60格时,时针正好走5格,所以时针的速度是分针的5÷60=1／12,分针每走60÷（1－5／60）=65+5／11（分）,于时针重合一次,时钟问题变化多端,也存在着不少学问.这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－1／12）=追及时间（分钟）,其中,1－1／12为每分钟分针比时针多走的格数.
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